Второе заседание студенческого математического семинара

Докладчик изложил доказательство теоремы о том, что в пространстве непрерывных функций C[a,b] множество функций, дифференцируемых хотя бы в одной точке, является множеством первой категории («тощим множеством»). Неформально говоря, это означает, что типичная непрерывная функция не имеет производной ни в одной точке. Что звучит довольно необычно – ведь на математическом анализе и других предметах студенты чаще всего работают с функциями, у которых производная есть, а график представляет собой гладкую кривую, может быть за исключением каких-то отдельных точек. Но оказывается, что такие функции занимают пренебрежимо малую часть пространства всех непрерывных функций, а подавляющее большинство непрерывных функций – нигде не дифференцируемые, обладающие «всюду шершавыми» графиками. Между прочим, в прикладных задачах такие функции тоже иногда появляются: они служат решениями стохастических дифференциальных уравнений, возникающих в ряде математических моделей естественных и гуманитарных наук.

Доказательство теоремы, которой был посвящён доклад, достаточно длинное и не очень простое. Отдельные моменты в этом доказательстве послужили поводом для интересных обсуждений. Докладчику удалось разъяснить все логические шаги и ответить на возникавшие вопросы, а слушатели получили возможность проследить за логикой не самого простого математического рассуждения.