Третье заседание студенческого математического семинара

Математический узел – это любая замкнутая кривая без самопересечений в трёхмерном пространстве, а зацепление – объединение нескольких таких непересекающихся кривых. Основной вопрос в теории узлов и зацеплений – какие из них изотопны друг другу, то есть могут быть друг в друга продеформированы, а какие нет. В частности, какие из них можно «распутать» в обычные незацеплённые между собой окружности. Докладчик дал основные определения, лежащие в основе этой теории, а затем рассказал о преобразованиях Рейдемейстера, позволяющих доказывать изотопность, и о многочлене Александера, нахождение которого помогает изотопность опровергать. Изложенная теория была проиллюстрирована несколькими примерами.

Ведущий семинара, доцент кафедры математического анализа и теории функций Михаил Михайлович Кокурин, дополнил доклад рассказом о коэффициенте зацепления и его связи с биохимией ДНК. Топологический стресс, характеризующий излишнюю перекрученность молекулы ДНК, распределяется между двумя величинами, допускающими и геометрическую интерпретацию, и аналитические интегральные формулы – твистом Tw и райзингом Wr. Твист показывает, сколько раз каждая из нитей ДНК обходит вокруг оси, а райзинг характеризует закрученность (сверхспирализацию) самой оси молекулы. На первый взгляд кажется, что зацеплённость двух нитей определяется только твистом, но это не так. С помощью верёвок было продемонстрировано, что даже если твист вообще нулевой, зацеплённость при ненулевом райзинге будет присутствовать всё равно. Был также прокомментирован другой неочевидный момент – что твист может принимать нецелые значения, и что это значит. Слушателям была показана компьютерная программа, визуализирующая молекулы ДНК с разным твистом и райзингом на основе простой модели. После этого ведущий рассказал про ферменты топоизомеразы, служащие для устранения топологического стресса, и о том, как они связаны с механизмом действия некоторых антибиотиков и противоопухолевых препаратов.

Теория узлов и зацеплений – это яркий и наглядный раздел топологии, математической дисциплины, изучающей непрерывность в самом общем виде. На семинаре участники увидели и математическую глубину этого раздела, и его связь с фундаментом жизни на нашей планете.