Завершается грантовый проект на тему «Итеративная регуляризация и конечномерная аппроксимация нерегулярных операторных уравнений с приложениями к обратным задачам для уравнений с частными производными»

Проект под руководством д.ф.-м.н., профессора кафедры математического анализа и теории функций Кокурина М.Ю. выполнялся научным коллективом, включавшим наряду с сотрудниками Физико-математического факультета коллег из Вычислительного центра МГУ и Института системного анализа НИЦ ИУ РАН (г.Москва). Руководитель и некоторые исполнители проекта подвели итоги и поделились впечатлениями о проделанной работе.

Кокурин М.Ю., д.ф.-м.н.., профессор, ФМФ МарГУ

Основным результатом интенсивной трехлетной работы считаю произошедший разворот тематики научных исследований на нашей кафедре в сторону прикладных задач. Среди значимых результатов коллектива в этом направлении отмечу следующие.

1) Создан научный задел, обеспечивающий применение эффективного программного обеспечения для обработки данных акустического зондирования неоднородностей в составе томографических устройств технологического и медицинского назначения. Задел включает обоснованные и апробированные быстрые алгоритмы, не требовательные к мощности вычислительных устройств:

//doi.org/10.1134/S1995423922040097
//doi.org/10.31857/S0044466921090131
//doi.org/10.31857/S004446692112005X
//doi.org/10.20948/mm-2022-05-01

2) Разработана методика прогнозирования распространения эпидемии на основе нескольких моделей с учетом различных показателей заразности и опасности, в т.ч. под влиянием вакцинации и карантинных мероприятий, с адаптивной настройкой моделей на специфику охватываемых групп. Созданный программный комплекс позволяет учитывать такие факторы как наличие бессимптомного периода заболевания, нестойкость иммунитета к инфекции, вакцинация. Комплекс программ успешно тестировался на реальных данных по распространению эпидемии COVID-19 в России и более чем десяти зарубежных странах:

//doi.org/10.1088/1361-6420/abc530
//doi.org/10.1016/j.amc.2022.127312

3) Развит научный задел по созданию программного обеспечения в составе наземной аппаратуры обработки данных спутниковой радиотомографии, предназначенного для реконструкции профиля электронной концентрации ионосферы. Используемая модель учитывает искривление трассы зондирующего сигнала при прохождении сигнала через ионосферу:

//doi.org/10.1080/17415977.2021.1916818
//doi.org/10.33048/semi.2021.18.087

Среди наших основных теоретических результатов выделяются следующие.

1) Обоснован принцип кластеризации стационарных точек функционала невязки условно корректных обратных задач, позволяющий единообразно конструировать устойчивые итерационные методы решения обратных задач этого класса:

//doi.org/10.1007/s10898-022-01139-x
//doi.org/10.1016/j.jmaa.2021.125126
//doi.org/10.1515/jiip-2020-0064

2) Получены новые теоремы о единственности решений трехмерных обратных задач волнового зондирования в пространственно непереопределенной постановке:

//doi.org/10.4213/im9253
//doi.org/10.31857/S0044466921090131
//doi.org/10.26907/0021-3446-2020-6-30-35
//doi.org/10.1134/S0012266121090020
//doi.org/10.1134/S0012266121020129
//doi.org/10.1016/j.jmaa.2022.126584

3) Установлены новые оценки точности для итеративных методов аппроксимации решений и квазирешений нерегулярных нелинейных операторных уравнений:

//doi.org/10.26907/0021-3446-2022-2-29-42
//doi.org/10.31857/S0044466921120097
//doi.org/10.1515/jiip-2020-0091
//doi.org/10.31857/S0044466920060022

4) Обоснованы оригинальные численные методы аппроксимации решений прямых и обратных задач для операторных дифференциальных уравнений с дробными производными, а также процедуры аппроксимации инвариантных многообразий таких уравнений в окрестности стационарной точки:

//doi.org/10.1016/j.amc.2020.125574
//doi.org/10.32523/2306-6172-2022-10-3-58-72
//doi.org/10.1515/jiip-2020-0094
//doi.org/10.1515/jiip-2020-0038
//doi.org/10.36535/0233-6723-2021-189-3-130

5) Установлена обобщенная устойчивость решений широкого класса нелинейных интегральных уравнений:

https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2021.125352

Радует, что многие теоретические работы теперь также нередко выполняются на стыке различных математических направлений, чего ранее на нашей кафедре практически не было. Например, сравнительно новой для нас областью стали исследования по единственности решений обратных задач волновой акустики в различных постановках.  

Бакушинский А.Б., д.ф.-м.н., главный научный сотрудник, Институт системного анализа НИЦ ИУ РАН

В ходе реализации проекта нам совместно с коллегой из НИЯУ МИФИ удалось разработать и апробировать пакет быстрых алгоритмов решения обратной задачи волновой акустики. Существенно, что созданное программное обеспечение позволяет идентифицировать мелкоразмерные акустические неоднородности различной амплитуды и в то же время не требует больших вычислительных мощностей. Эти разработки на мой взгляд перспективны с точки зрения практического использования.

Пискарев С.И., д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник, НИВЦ МГУ

Финансовая поддержка гранта позволила в наше непростое время очно принять участие в нескольких профильных международных конференциях. Кроме того, упростилась работа с зарубежными партнерами, что позволило получить новые результаты по нелинейным уравнениям с дробными производными в банаховом пространстве. В процессе прямого научного взаимодействия обнаружился ряд интересных постановок, к которым планируем обратиться в ближайшее время. Считаю, что в МарГУ сложился перспективный научный коллектив, надеюсь, что наши совместные публикации в будущем продолжатся.

Ключев В.В., к.ф.-м.н., доцент, ФМФ МарГУ

Я получил неоценимый опыт численного экспериментирования с использованием параллельных вычислений на системах с распределенной памятью на примере системы МарГРИД, созданной в нашем университете. Тем самым удалось уточнить понимание собственной программистской квалификации и с большей уверенностью смотреть на возможные грядущие численные эксперименты. Тем более что выход задач, решаемых в рамках проектов РНФ, в практическую плоскость, очевидно, будет все больше востребован.

Паймеров С.К., аспирант, ФМФ МарГУ

В ходе выполнения заданий по проекту я усовершенствовал навыки программирования на языке Python, в т.ч. в части работы с большими данными. В процессе применения системы компьютерной математики Maple освоил некоторые продвинутые возможности этой системы. Весьма полезны и познавательны были теоретические выкладки в задачах электромагнитного рассеяния и в задаче расчета тонких оболочек, используемой в обратной задаче эластографии биологических объектов. Мне как аспиранту, специализирующемуся в области теоретической физики, интересно было познакомиться с тем, как традиционная техника квантовомеханических расчетов, развитая еще в 1930-х годах, оказывается применимой в современных исследованиях по обратным задачам волновой томографии.

Кокурин М.М., к.ф.-м.н., доцент, ФМФ МарГУ

Работа над проектом РНФ дала мощный толчок для повышения моей квалификации как математика-исследователя. За эти три года я успел многое: получил новые оценки точности итеративно регуляризованных методов решения нелинейных операторных уравнений, разработал методику применения изучаемых методов к задачам эпидемиологии, написал два учебных пособия для студентов, включающие как стандартный учебный материал по топологии и функциональному анализу, так и новейшие приложения этих дисциплин. Получил неоценимый опыт научного взаимодействия и написания совместных статей с коллегами по проекту: проф. С.И. Пискарёвым, проф. М.Ю. Кокуриным, А.В. Гавриловой. Разносторонний опыт, полученный в процессе работы над проектом, помог мне написать заявку на новый грант РНФ и выиграть его уже в качестве руководителя научной группы.

Гаврилова А.В., выпускница ФМФ МарГУ

Работа над совместным научным проектом – это большая ответственность. В моменты лени заставляет работать осознание того, что оговорены сроки выполнения проекта и от полученных результатов может зависеть деятельность коллег. В научной работе для меня важна возможность проверить свои знания на практике и применить их для реализации чего-то важного и значимого. Удивительно приятно быть полезной и иметь возможность реализовать свои и чужие идеи. Была проделана плодотворная работа, и можно надеяться, что ее по достоинству оценят в нашей стране и за рубежом, и она послужит стимулом для новых исследований.