Второе заседание студенческого математического семинара

По словам докладчика, этой темой он заинтересовался ещё будучи школьником, и чтобы разобраться в ней, самостоятельно изучил ряд обзорных статей и видеолекций по математической логике. Слушателями на семинаре были студенты групп МА-12, МА-32, МА-42 и ФБ-11, а также доцент Мансурова Елена Рашидовна.

Иван начал доклад с вопроса к аудитории: любая ли математическая гипотеза, по мнению слушателей, может быть рано или поздно доказана или опровергнута? Мнения студентов разделились. Затем докладчик привёл примеры математических проблем, которые до сих пор остаются открытыми. Может ли быть так, что их вообще невозможно разрешить? Оказывается, в силу первой теоремы Гёделя о неполноте, в формальной арифметике обязательно существуют утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Следующая часть доклада была посвящена изложению математического аппарата, необходимого для доказательства теорем Гёделя. Была описана нумерация Гёделя, позволяющая сопоставлять математическим утверждениям и доказательствам их натуральные номера. Далее был представлен эскиз доказательств первой и второй теорем Гёделя о неполноте, включающий описание всех основных этапов этих доказательств.

В конце заседания ведущий семинара, доцент кафедры математического анализа и теории функций Кокурин Михаил Михайлович, указал на частичную аналогию между идеей доказательства теорем Гёделя и парадоксом брадобрея, парадоксом Рассела, диагональным доказательством Кантора для несчётности отрезка, а также доказательством неразрешимости проблемы останова в теории алгоритмов. В ходе заключительного обсуждения доклада было поднято несколько интересных вопросов, в том числе о различии между доказуемостью в языке и в метаязыке, а также об осмысленности доказательства непротиворечивости теории средствами самой этой теории.